\tema{Ceros de funciones}

\intro

Sea $f: \Re \rightarrow \Re$, busco $x^{*}$ tal que $f(x^{*}) = 0$.

Para esto construyo sucesiones $\{\x{n}\} \rightarrow_{n \rightarrow \infty}  x^{*}$ \fl


%\stackrel{\rightarrow}{}

\defi{Orden de convergencia}

$|\alpha_{n} - \alpha| \leq k |\beta_{n}|$, $\alpha_{n}$ tiene orden de convergencia O($\beta_{n}$)

\begin{itemize}
	\item $|\alpha_{n+1} - \alpha| \leq k |\alpha_{n} - \alpha|$ orden de convergencia 1 (lineal)
	\item $|\alpha_{n+1} - \alpha| \leq k |\alpha_{n} - \alpha|^{2}$ orden de convergencia 2 (cuadr'atico)
	\item $|\alpha_{n+1} - \alpha| \leq k |\alpha_{n} - \alpha|^{p}$ orden de convergencia p 
\end{itemize}

Equivalencia: $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{|x_{n+1} - x|}{|x_{n} - x|^{p}} \neq 0$, de orden p.

\typ

\teo{Teorema de las derivadas:} $g \in C^{n}$, r punto fijo (g(r) = r).
Si $g'(r) = g''(r) = \hdots = g^{n-1}(r) = 0$ y $g^{n}(r) \neq 0$, entonces
el orden de convergencia es N.

\subsection{M\'etodos}

\subsubsection{M'etodo de bisecci'on}

	\texttt{M'etodo:} obvio.
	
	\texttt{Convergencia:} lineal. 


\subsubsection{M'etodo de punto fijo}

	\texttt{M'etodo:}	Defino g de R en R continua, como $g(x) = f(x) + x$. 
	Si encuentro un punto fijo $g(p) = p$, encuentro un cero de f.
	Defino la sucesi'on dada por $x_{n+1} = g(x_{n})$.
	
	Si g va de $[a,b] \rightarrow [a,b]$, g continua y $|g'| \leq k < 1$ para todo x en $[a,b]$, 
	entonces la sucesi'on converge al 'unico punto fijo, independientemente del $x_{0}$
	(que tiene que estar en el intervalo, l'ogico). \fl
	
	\texttt{Cota del error:} $|p_{n} - p| \leq \frac{k^{n}}{1-k} |p_{1} - p_{0}|$ \fl
	
	\texttt{Convergencia:} lineal.
	
\subsubsection{M'etodo de Newton} 

	Especializaci'on de punto fijo. 
	
	\texttt{M\'etodo:}$g(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)}$
	
	Requiere que $f'(p) \neq 0$. \fl
	
	\texttt{Prop:} Sea $f \in C^{2} [a,b] \rightarrow [a,b], p \in [a,b]$ 
	tal que $f(p) = p$ y $f'(p) \neq 0$, entonces existe $\delta > 0$ tal que si
	$p_{0} \in (p-\delta, p+\delta)$, la sucesi'on de Newton converge. \fl
	
	\texttt{Convergencia:} si la funci'on no es un polinomio con una ra'iz m'ultiple, 
	la convergencia es cuadr'atica. Sino, baja a lineal. 

\subsubsection{M'etodo de secante} 

	Como Newton, pero usando la secante en lugar de la tangente.
	
	\texttt{Sucesi'on:} $x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{\frac{f(x_{n})- f(x_{n-1})}{x_{n} - x_{n - 1}}}$ \fl
	
	\texttt{Convergencia:} no converge necesariamente (converge con hip'otesis parecidas a las de newton).
	Cuando converge, converge de manera superlineal. \fl
	
\subsubsection{M'etodo de regula falsi} 
	
	Como secante combinado con bisecci'on (me quedo con el punto que encierre el 0).
	
\subsection{Criterios de parada}

\begin{itemize}
	\item Criterio pesimista. Hago N iteraciones
	\item $|\x{n} - \x{n-1}| < \epsilon $
	\item $\frac{|\x{n} - \x{n-1}|}{|\x{n-1}|} < \epsilon $
	\item $|f(\x{n})| < \epsilon $
	\item $|f(\x{n}) - f(\x{n+1})| < \epsilon $	
	\item $\frac{|f(\x{n}) - f(\x{n-1})|}{|f(\x{n-1})|} < \epsilon $	
\end{itemize}